Родился 9 ноября 1973 года в Батуми.

Начинал заниматься футболом в Тбилиси. Начав выступления в мини-футболе, несколько раз становился чемпионом страны и вызывался в сборную Грузии. Вскоре переехал в Москву и присоединился к московскому мини-футбольному клубу «Торпедо».

Зоидзе стал игроком основного состава москвичей, но спустя некоторое время команда прекратила существование. Играл в якутском «Сахаинкасе» и «Чертаново», пока не был приглашён в московский «Минкас».

Именно с «Минкасом», впоследствии переименованным в «Спартак», связан наиболее значимый период в карьере Зоидзе. Бесо был одним из лидеров команды. В сезоне 2000/01, когда «Спартак» выиграл чемпионат России, Зоидзе являлся лучшим бомбардиром красно-белых и одним из лучших в чемпионате. Всего трижды входил в пятёрку лучших бомбардиров первенства. В сезоне 2001/02  принял участие в двух матчах Кубка УЕФА и забил в них четыре мяча, а в сезоне 2002/03 завоевал со «Спартаком» Кубок России.

Играл за «Спартак» до 2004 года, затем два сезона провёл за «Норильский никель» (часть времени выступал вместе со своим братом Галактионом), после чего завершил игровую карьеру.

С 2007 года начал тренировать МФК «Газпром-Югра», где до 2013 года работал вместе с Валерием Чугайновым, бразильским специалистом Милтиньо и тренером «Кайрата» и сборной Казахстана Кака. В 2013 году возглавил московский «Спартак», с которым стал победителем Высшей лиги, а после возвращения в «Газпром-Югру» в сезоне 2015/16 в роли ассистента главного тренера завоевал Кубок УЕФА. 

В 2017 году вместе с «Диной» стал обладателем Кубка России, после чего возглавил МФК КПРФ. С московским клубом впервые в его истории выиграл Суперлигу и завоевал «бронзу» в Лиге чемпионов УЕФА.

Образование 
Государственный технический университет, Тбилиси
Российский государственный университет физической культуры и спорта. Высшая школа тренеров

Достижения (игрок)
Чемпион Грузии: 1993/94
Чемпион России: 2000/01
Обладатель Кубка России: 2002

Достижения (тренер)
Победитель Лиги чемпионов по мини-футболу: 2015/16
Чемпион России по мини-футболу: 2019/20
Чемпион высшей лиги России: 2013/14
Обладатель Кубка России: 2017